Transoxiana 5 - Diciembre 2002
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Transoxiana 5 - Diciembre 2002 |
Este artículo es parte de una serie, cuyo propósito es divulgar los aspectos más destacados del desarrollo de las matemáticas en el Islam medieval. Este documento en particular proporciona una introducción general al asunto, y presenta con mayor extensión al más notable de los matemáticos del siglo IX, al-Khwarizmi; otros documentos de esta serie analizarán las contribuciones de los científicos del Islam en este campo, particularmente entre los siglos IX y XII.
Durante mucho tiempo, y aún entre los historiadores de la ciencia, se ha sostenido que, luego de un brillante período en que los griegos establecieron las fundaciones de las matemáticas, hubo un lapso de estancamiento antes de que los europeos, a comienzos del siglo XVI, reiniciaran el camino en el punto en que los griegos lo dejaran. La percepción común del período de alrededor de mil años entre los antiguos griegos y el Renacimiento europeo es que pocas novedades surgieron en el campo matemático, excepto por algunas traducciones árabes de obras griegas que preservaron las enseñanzas helénicas para que estuvieran disponibles para los europeos al comenzar el siglo XVI.
No debería sorprendernos la generalidad de esta percepción. Muchos importantes historiadores de la ciencia han contribuido a sostener esta visión, ya sea omitiendo cualquier mención a las matemáticas del Islam en el desarrollo histórico, o con declaraciones como la de Duhem en [Duh65]:
La ciencia árabe sólo reprodujo las enseñanzas de la ciencia griega.Sin embargo, la investigación reciente pinta un panorama muy diferente de nuestra deuda con los matemáticos del Islam. A partir de mediados de la década de 1950, el incansable trabajo de investigadores de distintos orígenes y escuelas, como --para citar sólo unos pocos--el estadounidense EDWARD S. KENNEDY en la American University de Beirut, los soviéticos ADOLF YUSKEVICH y BORIS ROZENFEL'D en la Academia de Ciencias de la ex-URSS y el egipcio (residente en Francia) ROSHDI RASHED en el CNRS, sus colegas y alumnos, demuestra que muchas de las ideas que previamente se creían brillantes concepciones debidas a matemáticos europeos de los siglos XVI, XVII y XVIII fueron desarrolladas por los científicos del Islam entre cuatro y nueve siglos antes.
Antes de entrar de lleno en la materia, procuraremos definir el lapso que este artículo comprende, y proporcionar una descripción general de los matemáticos a cuya contribución nos referiremos. El período que cubriremos es sencillo de describir: comprende desde finales del siglo VIII hasta mediados del XV, con especial énfasis en la ``Edad de Oro'' situado entre los siglos IX y XII. Suministrar una descripción que cubra a los científicos que contribuyeron es bastante más difícil. Obras como [Ken83] y [Ber86] hablan de matemáticas islámicas, mientras que [al'78], en sentido similar, refiere a contribuciones musulmanas. Otros autores, como Rashed en [Ras84,Ras94] usan la descripción ``matemáticas árabes''. Pero por cierto que no todos los eruditos que pretendemos incluir eran musulmanes; algunos eran judíos, otros cristianos de diversas sectas, zoroastrianos, sabianos y de otras confesiones. Ni eran todos ellos árabes; su diversidad incluye persas, tayiks, uzbecos, turcos, magrebíes, españoles... Hemos preferido la designación de ``matemáticas del Islam'', como referencia al enorme conglomerado político-económico que, bajo la autoridad de los seguidores del profeta Muhammad, constituyera el conjunto hegemónico del mundo en la Edad Media, extendiéndose desde las fronteras de la China en el Este hasta la Península Ibérica en Occidente.
Los antecedentes de los desarrollos matemáticos que comenzaron en Bagdad alrededor del año 800 no son aún demasiado claros. Ciertamente que hubo una poderosa influencia proveniente de los matemáticos de la India, cuyo temprano desarrollo del sistema decimal y de la numeración revistieron gran importancia. Allí comenzó un período de progreso matemático con el trabajo de al-Khwarizmi y la traducción de los textos griegos.
Harun al-Rashid, quinto califa de la dinastía Abásida, comenzó su reinado el 14 de septiembre de 786. Promovió la investigación científica y la erudición. Las primeras traducciones de textos griegos al árabe, como los ``Elementos'' de Euclides por al-Hajjaj, fueron hechas durante su reinado. El séptimo califa, Abd Allah al-Ma'mun, alentó la búsqueda del conocimiento científico aún más que su padre al-Rashid, estableciendo en Bagdad una institución de investigación y traducción que, en términos modernos, denominaríamos un ``centro de excelencia académica'' o un ``think tank'': la Casa de la Sabiduría (Bayt al-Hikma)2. Allí trabajaron al-Kindi y los tres hermanos Banu Musa, así como el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq.
En la Casa se tradujeron las obras de Euclides, Diofanto, Menelao, Arquímedes, Ptolomeo, Apolonio, Diocles, Teodosio, Hipsicles y otros clásicos de la ciencia griega. Es necesario enfatizar que estas traducciones fueron hechas por científicos, no por expertos en lenguas ignorantes de las matemáticas, y la necesidad de estas traducciones fue estimulada por las investigaciones más avanzadas de la época.
Uno de los avances más significativos llevados a cabo por los matemáticos del Islam (y, sin duda, uno de los mas trascendentes en toda la historia de la ciencia) tuvo origen en esa época, con los trabajos de Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi: el álgebra [aK31]. Es importante entender que la nueva idea representaba un apartamiento revolucionario del concepto geometricista de los griegos. El álgebra era una teoría unificadora que permitió que los números racionales, los irracionales, las magnitudes geométricas, etc. fuesen tratados como ``objetos algebraicos''. Ella abrió caminos de desarrollo matemático hasta entonces desconocidos; como señala Rashed [Ras84]:
Los sucesores de al-Khwarizmi emprendieron una aplicación sistemática de la aritmética al álgebra, del álgebra a la aritmética, de ambas a la trigonometría, del álgebra a la teoría de números euclideana, del álgebra a la geometría, y de la geometría al álgebra. Fue así como se crearon el álgebra polinomial, el análisis combinatorio, el análisis numérico, la solución numérica de ecuaciones, la nueva teoría elemental de números, y la construcción geométrica de ecuaciones.Sigamos por un momento el desarrollo del álgebra y observemos a los sucesores de al-Khwarizmi. Alrededor de 40 años despues de él, aparecerán los trabajos de al-Mahani (nacido en 820), quien concibió la idea de reducir los problemas geométricos como el de la duplicación del cubo a problemas de álgebra. Abu Kamil, nacido en 850, constituye un vínculo importante en el desarrollo del álgebra entre al-Khwarizmi y al-Karaji. Pese a no usar símbolos (escribía en palabras las potencias de x) fue quien comenzó a entender lo que en símbolos actuales escribiríamos como xmxn = xm + n. Nótese que los símbolos no habrán de aparecer en las matemáticas del Islam hasta mucho después. Ibn al-Banna y al-Qalasadi usaban símbolos en el siglo XV y, si bien no conocemos con exactitud cuándo comenzaron a usarse, es sabido que fureon empleados al menos un siglo antes que estos cientíicos los usaran3.
Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji, nacido en 953, es probablemente el primero en liberar completamente al álgebra de las operaciones geométricas y remplazarlas por el tipo de operaciones artiméticas que constituyen el corazón del álgebra actual. Fue el primero en definir los monomios x, x2, x3... y 1/x, 1/x2, 1/x3,... y proporcionar reglas para el producto de dos cualesquiera de ellos. Inició una escuela algebraica que florecería por varios siglos. Cerca de doscientos años después, un importante miembro de la escuela de al-Karaji, al-Samawal (nacido en 1130) fue el primero en dar al nuevo tópico del álgebra una descripción precisa, cuando escribió que ella se ocupaba:
... de operar sobre las incógnitas usando todas las herramientas aritméticas, de la misma forma que el artimético opera sobre lo conocido.Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami (conocido en Occidente como Omar Kayyam, nacido en 1048) dió una completa clasificación de las ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas halladas mediante intersección de secciones cónicas[Kha31]. También escribió que esperaba dar una descripción completa de la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas en una obra posterior:
Si la oportunidad surge y puedo tener éxito, daré todas estas catorce formas con todas sus ramas y casos, y cómo distinguir lo que es posible o imposible, de modo tal que se prepare un texto conteniendo elementos que son sumamente útiles en este arte. (citado en [Ras78])Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi (Sharaf al-Tusi), nacido en 1135 y contemporáneo de al-Samawal, no acompaña el desarrollo general de la escuela de al-Karaji, sino que sigue a Khayyam en la aplicación del álgebra a la geometría. Escribio un tratado sobre las ecuaciones cúbicas, que al decir de Rashed [Ras84] ... representa una contribución esencial a otra álgebra que propone estudiar las curvas por medio de las ecuaciones, inaugurando así el comienzo de la geometría algebraica.
Volvamos ahora a la Casa de la Sabiduría en la Bagdad del siglo IX, para recoger otros ejemplos del desarrollo de las matemáticas en el Islam medieval. Uno de los discípulos de los hermanos Banu Musa educado allí fue Thabit ibn Qurra (nacido en 836). Thabit hizo múlitples contribuciones en los más diversos campos de las matemáticas, pero por el momento nos concentraremos en sus aportes a la teoría de números: descubrió un bello teorema que permite hallar pares de números amicales4. Un siglo y medio después, al-Baghdadi estudió una ligera variante del teorema de Thabit, mientras que al-Haytham parece haber sido el primero en intentar clasificar todos los números perfectos5 pares como los de la forma 2k - 1(2k - 1) donde 2k - 1 es primo.
También fue al-Haytham el primero en formular el Teorema de Wilson (si p es primo, entonces 1 + (p - 1)! es divisible por p), aún cuando no queda claro si supo cómo probar este resultado. Se lo llama ``teorema de Wilson'' por un comentario de Waring en 1770 acerca de que John Wilson había notado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese hallado la prueba, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771, dio la primera prueba; debe notarse que debieron trascurrir 750 años desde al-Haytam antes que la teoría de números superase este logro de los matemáticos del Islam.
Continuando con la historia de los números amicales después del ligero desvío que hemos tomado, haremos notar que tienen un rol significativo en la matemática islámica. Una nueva prueba del teorema de Thabit ibn Qurra fue suministrada a finales del siglo XIII por al-Farisi (nacido en 1260), quien introdujo importantes nuevas ideas en los campos de la factorización y de los métodos combinatorios. También señaló el par de números amicales 17296 - 18416; este descubrimiento ha sido atribuido a Leonhard Euler (siglo XVIII), pero sabemos ahora que eran conocidos cinco siglos antes por al-Farisi, y quizás aún antes por el propio Thabit ibn Qurra. Si bien fuera del lapso histórico que estamos considerando en este texto, vale la pena hacer notar que en el siglo XVII Muhammad Baqir Yazdi encontró el par 9363584 - 9437056, todavía muchos años antes del aporte de Euler.
Demos ahora una mirada a los sistemas de conteo en uso en los territorios del Islam alrededor del siglo X. Tres distintos tipos de sistemas aritméticos se empleaban simultáneamente en esa epoca, y para fines de siglo autores como al-Baghdadi escribían textos en que analizaban comparativamente los tres sistemas.
Este sistema derivaba del conteo con los dedos, con los numerales enteramente escritos en palabras, y era el método empleado por la comunidad mercantil. Matemáticos como Abu'l-Wafa (n. 940) escribieron varios tratados usando este sistema. El propio Abu'l-Wafa era un experto en el uso de los numerales indios, pero estos
... no encontraron aplicación en los círculos comerciales y entre la población del Califato Oriental por largo tiempo.[iL65,All76]De allí que escribiera su texto usando el método de contar con los dedos, puesto que este era el sistema usado por la comunidad comercial a quienes se dirigía su obra [Kra66,Med60,Sai74].
El segundo de los tres sistemas era el sexagesimal, con los numerales denotados por letras del alfabeto árabe. Provenía de Babilonia, y los matemáticos del Islam lo usaron principalmente para el trabajo astronómico.
El tercer sistema fue la aritmética de los numerales indios y las fracciones con valor posicional decimal. Los numerales empleados fueron tomados de la India, pero no había un conjunto estándar de símbolos y diferentes partes del mundo islámico usaron formas ligeramente distintas de los numerales. Al comienzo, los métodos indios fueron usados con una caja de arena; ésta era necesaria porque los métodos requerían mover y desplazar los números durante el cálculo, y borrar algunos de ellos a medida que se desarrollaba el cómputo. La caja de arena permitía hacer esto de un modo parecido al empleo de un pizarrón, tizas y borrador. Sin embargo, al-Uqlidisi (n. 920) mostró cómo modificar los métodos para permitir el uso de pluma y papel[aU78]. Al-Baghdadi también contribuyó a mejorar el sistema decimal.
El empleo de este tercer sistema de cálculo produjo la mayoría de los avances en métodos numéricos en el Islam. Permitió extraer raíces a investigadores como Abu'l-Wafa y Khayyam. El descubrimiento del teorema de los binomios por al-Karaji6 fue un factor considerable el el desarrollo del análisis numérico basado en el sistema decimal. Al-Kashi (n. 1380) contribuyó al desarrollo de las fracciones decimales no sólo para aproximar números algebraicos, sino también para números reales como pi [Ras78]. Su aporte a las fracciones decimales es tan importante que por muchos años se lo consideró su inventor. Sin embargo, en la década de 1980 se halló evidencia del empleo anterior de fracciones decimales[Zar90] que se remonta al siglo X en el Islam, por el mencionado al-Uqlidisi; de hehcho, el sistema de notación empleado por éste era superior al de al-Kashi7. Si bien no fue el primero en hacerlo, al-Kashi desarrolló un algoritmo para el cálculo de raíces enésimas que es un caso especial de los métodos que muchos siglos después darían Ruffini y Horner.
Si bien los matemáticos del Islam adquirieron fama por sus trabajos en el campo del álgebra, la teoría de números y los sistemas numéricos, también hicieron contribuciones considerables en geometría, trigonometría y astronomía matemática. Ibrahim ibn Sinan (n. 908), que introdujo un método de integración más general que el de Arquímedes, y al-Quhi (n. 940), fueron figuras relevantes en el renacer y la continuación de la alta geometría griega en el mundo islámico. Estos matemáticos, y en particular al-Haytham, estudiaron la óptica y en especial las propiedades ópticas de los espejos diseñados con base en secciones cónicas. Umar Khayyam combinó el uso de la trigonometría y la teoría de la aproximación para suministrar métodos de resolución de ecuaciones algebraicas por medios geométricos.
La astronomía, la cronografía y la geografía proveyeron otras motivaciones para la investigación en los campos de la geometría y la trigonometría. Por ejemplo, Ibrahim ibn Sinan continuó y profundizó los estudios de su abuelo Thabit ibn Qurra sobre las curvas requeridas para la construcción de relojes de sol. Abu'l-Wafa y Abu Nasr Mansur aplicaron la geometría esférica a la astronomía, y ambos usaron fórmulas que involucraban las funciones seno (sin) y tangente (tan). El extraordinario científico uzbeco Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni, usó la fórmula del seno en astronomía y en el cálculo de las latitudes y longitudes de muchas ciudades; y como consecuencia de sus trabajos en astronomía y geografía realizó extensos estudios de proyección de la esfera en el plano.
Thabit ibn Qurra (a quien con justicia mencionaremos una vez más, porque incursionó en las áreas más diversas) llevó a cabo trabajos teóricos y de observación en astronomía. Al Battani realizó observaciones precisas que le permitieron mejorar considerablemente los datos de Ptolomeo sobre el Sol y la Luna. Nasir al-Din al-Tusi, como muchos otros matemáticos de su tiempo, basó su astronomía teórica en la obra de Ptolomeo, pero con un grado de precisión tal que sus trabajos representan el punto culminante del modelo planetario ptolemaico hasta el desarrollo del modelo heliocéntrico en tiempos de Copérnico.
Muchos de los científicos del Islam produjeron tablas de funciones trigonométricas como parte de sus estudios en astronomía, incluyendo a Ulugh Beg (nacido en 1393) y al-Kashi. La construccioón de instrumentos astronómicos como el astrolabio fue también una especialidad de los eruditos islámicos. Al-Mahani usó un astrolabio, mientras que Ahmed (n. 835), al-Khazin (m. 900), Ibrahim ibn Sinan, al-Quhi, Abu Nasr Mansur (n. 965), al-Biruni, y otros, escribieron importantes tratados sobre astrolabios. Sharaf al-Din al-Tusi inventó el astrolabio lineal8.
Es de notar que, en su mayor parte, estos hombres abordaron simultáneamente varias ramas de las ciencias y las artes. Sus contribuciones y trascendencia son en muchos casos comparables (y en algunos casos superiores) a las de las grandes figuras del Renacimiento europeo, como Leonardo da Vinci o Galileo. Un ejemplo de ello es al-Biruni (973-1048), el primer gran experimentador sistemático, cuyas obras comprenden 13000 folios (bastante más que las de Galileo y Newton reunidas). Al-Biruni hizo contribuciones fundamentales en matemáticas, filosofía, astronomía, física, química, geografía, geodesia, geología, ; su determinación del diámetro de la Tierra tiene una precisión tal que no sería alcanzada en Occidente hasta cinco siglos más tarde; a él se debe el principio de conservación de la masa (atribuido a Lavoisier, científico francés del siglo XVIII); fue pionero de la geología, junto con ibn Sina, a partir de sus observaciones de los fósiles hallados en las montañas, y observó (también contemporáneamente con ibn Sina, con quien mantuvo profusa correspondencia) el carácter aluvional de los valles. Estos avances científicos se atribuyen en Occidente, respectivamente, a Leonardo da Vinci (reconocido lector de las traducciones latinas de libros árabes) en el siglo XVI, y Nicolas Desmarest en 1756.
Otro ejemplo extraordinario es Abu Ali al-Husain ibn Abdallah ibn Sina (980-1037) conocido en Occidente como Avicena, especialmente recordado por sus contribuciones en el campo de la medicina, ciencia que comenzó a estudiar a la edad de trece años, a punto tal que su Q'anun fi-l-tibb (Canon) habría de ser la obra médica de referencia no sólo en el Islam sino también en Occidente por más de seis siglos. Pero sus aportes no se limitaron a ese campo; fue filósofo, físico y matemático, se destacó en astronomía, música, psicología, lógica y filología, y fundó la geología junto con al-Biruni. Escribió 450 obras (de las cuales 240 han llegado hasta nuestros días), incluyendo la monumental enciclopedia Kitab al-Shifa'.
Cuáles fueron la razones de este singular florecimiento de la ciencias en el Islam medieval, desde al-Andalus hasta las márgenes del Indo? No hay un único factor al que pueda atribuirse esta fertilidad en el campo de las ideas. La posición central del Islam entre las tradiciones científicas griega e india, la existencia de condiciones económicas favorables, la extensión del comercio en un amplísimo territorio (con el consecuente requerimiento de establecer un marco de referencia unificado), y la necesidad de mejorar las tecnologías empleadas por una civilización en expansión, sustentan en parte este desarrollo. Es necesario recordar que la investigación científica en el Islam medieval es una cuestión de estado, y que han de ser los gobernantes de distintas dinastías quienes proporcionarán la base material necesaria para esas actividades9. Motores no menos importantes de la investigación, cuando menos en los campos de las matemáticas y la astronomía, son las demandas que provienen del plano religioso: la necesidad de determinar calendarios precisos para anticipar las fechas de significación sacra, o la determinación de la posición de la Meca (qibla) desde cualquier punto, para el cumplimiento de la plegaria; y las prescripciones de derecho civil que provienen del texto sagrado, como las complejas reglas de particionamiento de las herencias.
A nuestro juicio, sin embargo, los extraordinarios logros de la ciencia del Islam no hubieran alcanzado ese nivel sin un factor fundamental: la libertad de expresión. La política de amplia tolerancia religiosa y filosófica del Islam medieval permitió el debate abierto entre distintos enfoques y escuelas de pensamiento, el cuestionamiento y el análisis crítico de la tradición griega, y la aceptación de la realidad de un entorno multicultural y multiétnico10. Este respeto por la diversidad no era siempre absoluto; así, al-Ma'mun, al mismo tiempo que alentaba las investigaciones de eruditos de las más diversas extracciones religiosas, sostenía a sangre y fuego la ortodoxia Mu'tazilí11, castigando cruelmente a quienes sostenían visiones opuestas. Extraña mezcla, pues, de intolerancia y libertad de pensamiento: mientras perseguía a aquellos que objetaban el Mu'tazilismo, acogía en su corte a judíos, cristianos, y creyentes de otras religiones. Contradicción sólo explicable en tanto necesidad de mantener la integridad del Estado mediante el establecimiento de una ortodoxia oficialmente sancionada.
No sería posible, dadas las limitaciones de espacio propias de un artículo, hacer una reseña biográfica de todos los matemáticos notables del Islam medieval. Sin embargo, nuestro trabajo no estaría completo si no mencionásemos, al menos, aquellos que a nuestro juicio resultan mas relevantes . Así pues, nos concentraremos en los aportes de algunos científicos de los siglos IX al XIII, situados en su contexto histórico; una época que podemos denominar sin vacilación la ``Edad de Oro'' de la ciencia islámica.
Se conocen pocos detalles de la vida de Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Se estima que nació alrededor de 780 en Bagdad (actual Iraq) y murió alrededor de 850. Uno de los desafortunados efectos de esta falta de datos parece ser la tentación de arriesgar hipótesis con muy escasa evidencia. En su artículo en [Gil], Toomer sugiere --basándose en escritos del historiador al-Tabari-- que sus antecesores provenían de Khwarezm y pertenecían a la fe zoroastriana. Rashed en [Gra74] halla que se trata de un error de interpretación de Toomer, debido a un error de transcripción (la falta de la conectiva wa) en una copia del manuscrito de al-Tabari. No será este el último desacuerdo entre historiadores que encontraremos en las descripciones de la vida y las obras de al-Khwarizmi. Pero antes de incursionar en los pocos hechos de su vida que podemos dar por ciertos, nos tomaremos un momento para situar el escenario del contexto histórico-cultural en que habría de trabajar.
Como hemos narrado previamente, Harun al-Rashid ascendió al califato en 786, aproximadamente en la época del nacimiento de al-Khwarizmi. Desde su capital en Bagdad, Harun regía un imperio extendido desde el Mediterráneo hasta la India. Impulsó la cultura en su corte y trató de establecer las disciplinas intelectuales que en ese tiempo no eran demasiado notorias en el mundo islámico. Cuando murió, en 809, estalló el conflicto por la sucesión entre sus dos hijos: al-Amin, el mayor, y su hermano menor al-Ma'mun.
Al-Ma'mun resultó vencedor, y al-Amin fue derrocado y muerto en 813. Establecido al-Ma'mun en el califato, continuó patrocinando las ciencias como lo había hecho su padre y fundó la Casa de la Sabiduría (a la que ya nos hemos referido), una biblioteca de manuscritos que sería la primera de tal magnitud desde la creación de la de Alejandría, y varios observatorios astronómicos entre los que se destaca el de la planicie de Tadmor (Palmira).
Al-Khwarizmi y sus colegas los hermanos Banu Musa trabajaban en la Casa de la Sabiduría de Bagdad. Sus tareas involucraban la traducción de manuscritos griegos, y también estudiaban y escribían sobre temas de álgebra, geometría y astronomía. Ciertamente al-Kwharizmi trabajaba bajo el patrocinio del Califa, a quien le dedicó dos de sus textos: su tratado de álgebra y su tratado de astronomía. El texto Hisab al-jabr w'al-muqabala fue la más famosa e importante de todas sus obras; es el título de esta obra el que nos ha legado la palabra ``álgebra'' y, en un sentido que describiremos más adelante, es también el primer libro escrito sobre álgebra.
La traducción de Rosen de las palabras de al-Khwarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de que el sabio pretendía enseñar[aK31]:
... aquello que es fácil y más útil en aritmética, tal que los hombres lo requieren constantemente en casos de herencia, legados, particiones, juicios, y comercio, y en todos sus tratos con los demás, o cuando se trata de la mensura de tierras, la excavación de canales, cálculos geométricos, y otros objetos de varias clases y tipos.Ahora bien, esta declaración no suena como el contenido de un texto de álgebra, y en efecto solamente la primera parte del tratado es una discusión de lo que actualmente reconoceríamos como álgebra. Pero es importante percibir que al-Khwarizmi procuraba que el libro fuese eminentemente práctico, y que la introducción del álgebra apuntaba a la resolución de problemas concretos que eran parte de la vida cotidiana en el imperio islámico de entonces.
Luego de presentar los números naturales, al-Khwarizmi aborda la cuestión principal en la primera parte del libro: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están compuestas de unidades, raíces y cuadrados; para él, por ejemplo, una unidad era un número, una raíz era x y un cuadrado x2. Aunque en los ejemplos que siguen usaremos la notación algebraica corriente en nuestros días para ayudar al lector a entender las nociones, es de destacar que al-Khwarizmi no empleaba símbolos de ninguna clase, sino sólo palabras.
Primero reduce una ecuación a alguna de seis formas normales:
... un cuadrado y diez raíces son iguales a 39 unidades. Entonces, la pregunta en este tipo de ecuación es aproximadamente así: cuál es el cuadrado que, combinado con diez de sus raíces, dará una suma total de 39. La manera de resolver este tipo de ecuación es tomar la mitad de las raíces mencionadas. Ahora, las raíces en el problema que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos 5 que multiplicadas por sí mismas dan 25, una cantidad que agregarás a 39 dando 64. Habiendo extraido la raíz cuadrada de esto, que es 8, sustraemos de allí la mitad de las raíces, 5, resultando 3. Por lo tanto el número tres representa una raíz de este cuadrado.Sigue la prueba geométrica por compleción del cuadrado, que no expondremos aquí. Señalaremos sin embargo que las pruebas geométricas que usa al-Khwarizmi son objeto de controversia entre los expertos. La cuestión, que permanece sin respuesta, es si estaba familiarizado con el trabajo de Euclides. Debe recordarse, en la juventud de al-Khwarizmi y durante el reinado de Harun al-Rashid, al-Hajjaj había traducido los Elementos al árabe, y era uno de los compañeros de al-Khwarizmi en la Casa de la Sabiduría. Esto avalaría la posición de Toomer (op.cit.). Rashed comenta en [Ras94] que ``el tratamiento [de al-Khwarizmi] fue probablemente inspirado en el reciente conocimiento de los `Elementos'''. Pero, por su parte, Gandz en [Gan32] sostiene que los Elementos le eran completamente desconocidos. Aunque es inseguro que haya efectivamente conocido la obra euclidiana, es posible afirmar que fue influenciado por otras obras de geometría; véase el tratamiento de Parshall en [Par88] sobre las similitudes metodológicas con el texto hebreo Mishnat ha Middot, de mediados del siglo II.
Continúa el Hisab al-jabr w'al-muqabala examinando cómo las leyes de la aritmética se extienden a sus objetos algebraicos. Por ejemplo, muestra cómo multiplicar expresiones como (a + bx)(c + dx). Rashed [Ras94] encuentra sus formas de resolución extremadamente originales, pero Crossley [Cro80] las considera menos significativas. Gandz [Gan36] considera que la paternidad del álgebra es mucho más atribuible a al-Khwarizmi que a Diofanto.
La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos. Describe reglas para hallar el área de figuras geométricas como el círculo, y el volumen de solidos como la esfera, el cono y la pirámide. Esta sección, ciertamente, tiene mucha mayor afinidad con los textos hebreos e indios que con cualquier obra griega. La parte final del libro se ocupa de las complejas reglas islámicas de herencia, pero requiere poco del álgebra que expuso anteriormente, más allá de la resolución de ecuaciones lineales.
Al-Khwarizmi escribió también un tratado sobre los numerales indoarábigos. Se ha perdido el texto árabe, pero subsiste un texto en latín: Algoritmi de numero Indorum. Desafortunadamente, se sabe que la obra (traducida al inglés en [CH90]) se aparta bastante del texto original, del que ni siquiera se conoce el título. Probablemente, el primer uso del cero como indicador posicional aparece en esta obra. Se dan también métodos para cálculo aritmético, y se conoce que el original contenía un método para calcular raíces cuadradas, pero esta parte falta en versión en latín. En [All91] se discuten algunos tratados en latín del siglo XII basades en esta obra perdida.
Otra obra importante de al-Khwarizmi fue Sindhind zij, sobre astronomía. Esta obra, descripta en detalle en [vD96], se basa en trabajos astronómicos indios ``a diferencia de manuales islámicos de astronomía posteriores, que utilizaron los modelos planetarios griegos del `Almagesto' de Ptolomeo''[Sok85]. El texto indio en que se basa el tratado es uno de los obsequiados a la corte de Bagdad alrededor de 770 por una misión diplomática de la India. Las dos versiones árabes del texto escrito por al-Khwarizmi están perdidas. En el siglo X al-Majriti hizo una revisión crítica de la versión más corta, que fue traducida al latín por Adelardo de Bath; existe también una traducción latina de la versión más larga, y ambas traducciones han llegado hasta nuestro tiempo. Los temas principales cubiertos en la obra son los calendarios; el cálculo de las posiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas; tablas de senos y tangentes; astronomía esférica; tablas astrológicas; cálculos de paralajes y eclipses; y visibilidad de la Luna. En [Roz90] se discute un manuscrito relacionado sobre trigonometría esférica, atribuido a al-Khwarizmi.
Escribió también una obra significativa sobre geografía, en la que da las latitudes y longitudes de 2402 localidades como base para un mapamundi. El libro, que se basa en la Geografía de Ptolomeo, lista ciudades, montañas, mares, islas, regiones geográficas y rios; incluye mapas que, en conjunto, son más precisos que los de Ptolomeo. Esta claro que donde hubo mayor conocimiento local disponible para al-Khwarizmi, como las regiones del Islam, África y el Lejano Oriente, el trabajo es mucho más exacto que el de Ptolomeo, pero parace haber usado los datos de éste para Europa.
Su obra conocida se completa con una serie de obras menores sobre temas como el astrolabio, sobre el que escribió dos textos, sobre relojes solares y sobre el calendario judío. También escribió una historia política conteniendo horóscopos de personajes prominentes.
Citando a Mohammad Khan en [al'78]:
Al-Khwarizmi se sitúa en la primera fila de los matemáticos de todos los tiempos. Compuso las obras más antiguas sobre aritmética y álgebra. Estas fueron la fuente principal del conocimiento matemático en Oriente y Occidente en los siglos por venir. Su trabajo en aritmética introdujo los números indios en Europa, como el propio termino algoritmo significa; y su trabajo en álgebra ... dio nombre a esta importante rama de las matemáticas en el mundo europeo ...
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